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平面向量教案
作为一名辛苦耕耘的教育工作者，通常需要用到教案来辅助教学，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。我们该怎么去写教案呢？下面是小编精心整理的平面向量教案，希望能够帮助到大家。
平面向量教案1
1、三角形中的特殊位置(四心)所满足的向量方程:
(1)重心满足的向量方程: ;
(2)内心满足的向量方程: 或 ;
(3)外心满足的向量方程: ;
(4)垂心满足的向量方程: ;(斜三角形中)
2、已知 是 所在平面上的一点,若 ,则 是 的.垂心。
3、若 为 的外心,若 为 的重心,若h为 的垂心,则o,g,h三点共线,且 , ,若o为坐标原点,则重心和外心的坐标分别为:
, 。
4、已知 是 所在平面上的一点,若 ,则 是 的外心。
5、点 为三角形 的重心的充要条件是对平面上的任意一点 , 。
6、 为 方向上与 同向的单位向量。
7、设 、 是直线 上两点,点 是 上不同于 、 的任意一点,且 ,则 。
特别地,当 时, (向量的中点公式)。
8、若 、 、 三点不共线,已知 ,则 、 、 三点共线的充要条件是 。
9、若 、 不共线,且 ,则必有 。
10、向量平移后与原向量相等,即向量平移后坐标是不变的。
11、若直线 的方向向量为 ,则直线 的斜率与该向量的关系为 。
12、若 、 、 分别为 、 、 的中点,则 。
13、若向量 、 、 满足条件 ,且 ,则 为正三角形。
14、若 为 的重心,且 ,则 为正三角形。
15、三角形中一些特殊直线的向量表示:
(1) 是 的中线 ;
(2) 是 的高线 ;
(3) 是 的内角平分线 ;
(4) 是 的外角平分线 。
16、两向量的夹角为锐角不是两向量数量积为正的充要条件,因为要排除夹角为0的情形;
两向量的夹角为钝角也不是两向量数量积为负的充要条件,因为要排除夹角为 的情形。
17、设 是 与 的夹角,则 称作为 在 方向上的投影。
。夹角
18、在平行四边形 中,若 则平行四边形 是菱形;
在平行四边形 中,若 ,则平行四边形 是矩形;
在平行四边形 中, (变形即中线定理)。
平面向量教案2
一、 背景分析
1、学习任务分析
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。
本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。
2、学生情况分析
学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点数量积的概念。
二、 教学目标设计
《普通高中数学课程标准（实验）》 对本节课的要求有以下三条：
（1）通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
（3）能用运数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的.垂直关系。
从以上的背景分析可以看出，数量积的概念既是本节课的重点，也是难点。为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用。其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体。
综上所述，结合“课标”要求和学生实际，我将本节课的教学目标定为：
1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，
并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；
3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
三、课堂结构设计
本节课从总体上讲是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课的知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：
即先从数学和物理两个角度创设问题情景，通过归纳和抽象得到数量积的概念，在此基础上研究数量积的性质和运算律，使学生进一步加深对概念的理解，然后通过例题和练习使学生巩固概念，加深印象，最后通过课堂小结提高学生认识，形成知识体系。
四、 教学媒体设计
和“大纲”教材相比，“课标”教材在本节课的内容安排上，虽然将向量的夹角在“平面向量基本定理”一节提前做了介绍，但却将原来分两节课完成的内容合并成一节，相比较而言本节课的教学任务加重了许多。为了保证教学任务的完成，顺利实现本节课的教学目标，考虑到本节课的实际特点，在教学媒体的使用上，我的设想主要有以下两点：
1、制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。
2、设计科学合理的板书（见下），一方面使学生加深对主要知识的印象，另一方面使学生清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络。
平面向量教案3
向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。
一、总体设想：
本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义;二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念;二是几何意义和运算律;三是两个向量的模与夹角的计算。
二、教学目标：
知识和技能：
使学生了解向量的数量积的抽象根源。
使学生理解向是的数量积的概念：
两个非零向量的夹角;定义;本质;几何意义。
使学生了解向量的数量积的运算律
掌握向量数量积的主要变化式：;
过程与方法：
从物理中的物体受力做功，提出向量的夹角和数量积的概念，然后给出两个非零向量的夹角和数量积的一般概念，并强调它的本质;接着给出两个向量的数量积的几何意义，提出一个向量在另一个向量方向上的投影的概念。
给出向量的`数量积的运算律，并通过例题具体地显示出来。
由数量积的定义式，变化出一些特例。
情感、态度和价值观：
使学生学会有效学习：抓住知识之间的逻辑关系。
三、重、难点：
【重点】数量积的定义，向量模和夹角的计算方法
【难点】向量的数量积的几何意义
四、教学方案及其设计意图：
平面向量的数量积，是解决垂直、求夹角和线段长度问题的关键知识，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。于是在引导学生学平面向量数量积的概念时，要围绕物理方面已有的知识展开，这是使学生把所学的新知识附着在旧知识上的绝好的机会。(如图)首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F的所做的功为W，这里的(是矢量F和s的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。以此为基础引出了两非零向量a，b的数量积的概念：，是记法，是定义的实质――它是一个实数。按照推理，当时，数量积为正数;当时，数量积为零;当时，数量积为负。
向量数量积的几何意义在证明分配律方向起着关键性的作用。其几何意义实质上是将乘积拆成两部分：。此概念也以物体做功为基础给出。是向量b在a的方向上的投影。
平面向量教案4
目的：
通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的'基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
过程：
一、复习：
1．实数与向量的积(强调：“模”与“方向”两点)
2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）
3．向量共线的充要条件
4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质）
二、例题
1．当λZ时，验证：λ(+)=λ+λ
证：当λ=0时，左边=0(+)=右边=0+0=分配律成立
当λ为正整数时，令λ=n,则有：
n(+)=(+)+(+)+…+(+)
=++…+++++…+=n+n
即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ=n（n为正整数），有：
n(+)=n[(+)]=n[()+()]=n()+n()=n+(n)=nn
分配律仍成立
综上所述，当λ为整数时，λ(+)=λ+λ恒成立。
2．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30,60角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90
1(kg)P1OP=60P2OP=30
∴cos60=1=0.5(kg)
cos30=1=0.87(kg)
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5kg和0.87kg。
平面向量教案5
第一教时
教材：
向量
目的：
要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
过程：
一、开场白：本P93（略）
实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，
问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。
二、提出题：平面向量
1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等
注意：1数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2．向量的表示方法：
1几何表示法：点—射线
有向线段——具有一定方向的线段
有向线段的.三要素：起点、方向、长度
记作（注意起讫）
2字母表示法： 可表示为 （印刷时用黑体字）
P95 例 用1cm表示5n mail（海里）
3．模的概念：向量 的大小——长度称为向量的模。
记作： 模是可以比较大小的
4．两个特殊的向量：
1零向量——长度（模）为0的向量，记作 。 的方向是任意的。
注意 与0的区别
2单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？
答：不是。因为零上零下也只是大小之分。
例： 与 是否同一向量？
答：不是同一向量。
例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？
答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
三、向量间的关系：
1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作： ∥ ∥
规定： 与任一向量平行
2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作： =
规定： =
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
3．共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，
所以平行向量也叫共线向量。
例：（P95）略
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（ ）
四、小结：
五、作业：
P96 练习 习题5.1
平面向量教案6
下学期5.4平面向量的坐标运算2
（第二课时）
一．教学目标
1．熟练掌握向量的坐标运算，并能应用它来解决平面几何的有关问题．
2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；
二．教学重点向量共线充要条件的坐标表示及应用．
教学难点向量与坐标之间的转化．
三．教学具准备
直尺、投影仪
四．教学过程
1．设置情境
引进直角坐标系后，向量可以用坐标表示．那么，怎样用坐标反映两个向量的平行？如何用坐标反映几何图像的结合关系？本节课就这些问题作讨论．
2．探索研究
（1）师：板书或投影以下4个习题：
①设，则
②向量 a 与非零向量 b 平行（共线）的充要条件是．
③若 M （3，－2）， N （－5，－1）且，则点 P 的`坐标为．
A．（－8，－1）B．C．D．（8，－1）
④已知 A （0，1）， B （1，2）， C （3，4），则
参考答案：
（2）有且只有一个实数，使得（3）B（4）（－3，－3）
师：如何用坐标表示向量平行（共线）的充要条件？会得到什么重要结论？（引导学生）
生：设
师：很好！这就是说的充要条件是（板书或投影）．向量平行（共线）充要条件的两种表示形式．
（2）例题分析
【例1 】已知，且，求 y ．
解：∵
∴
∴
【例2 】已知 A （－1，－1）， B （1，3）， C （2，5），求证 A 、 B 、 C 三点共线．
证：
又，
∴
又∵直线 AB 和直线 AC 有公共点 A
∴ A 、 B 、 C 三点共线
【例3 】若向量与共线且方向相同，求 x ．
解：∵共线，
∴
∴．
∵ a 与 b 方向相同，
∴
师：若，不合条件吗？
生：∵若，则
∴
∴ a 与 b 反向与已知符．
【例4 】已知点 A （－1，－1）， B （1，3）， C （1，5）， D （2，7），向量与平行吗？直线 AB 与 CD 平行吗？
师：判断两向量是否平行，需要哪个知识点．
生：用两向量平行的充要条件是
解：
又2 × 2－4 × 1＝0，
∴．
又
且2 × 2－2 × 6 ≠ 0，
∴与不平行．
∴ A 、 B 、 C 三点不共线， AB 与 CD 不重合．
∴直线 AB 与 CD 平行．
3．演练反馈（投影）
（1） A （0，1）， B （1，0）， C （1，2）， D （2，1）
求证：．
（2）已知向量且，则等于（）
A．3? B．C．D．－3
参考答案：（1）先证，再证 A 、 B 、 C 、 D 四点不共线；（2）C
4．总结提炼
本节课我们主要学习了平面向量平行的坐标表示，要掌握平面向量平行的充要条件的两种形式，会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行（重合）．
五．板书设计
课题
1．向量平行的坐标表示
（充要条件）
2．举例．
演练反馈
总结提炼
平面向量教案7
一、教学目标：
1.知识与技能：
了解平面向量基本定理及其意义, 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示。
2.过程与方法：
让学生经历平面向量基本定理的探索与发现的形成过程,体会由特殊到一般和数形结合的数学思想，初步掌握应用平面向量基本定理分解向量的方法，培养学生分析问题与解决问题的能力。
3.情感、态度和价值观
通过对平面向量基本定理的学习,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性,增强学生向量的应用意识,并培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的'学习品质.
二、教学重点：平面向量基本定理.
三、教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.
四、教学方法：探究发现、讲练结合
五、授课类型：新授课
六、教 具：电子白板、黑板和课件
七、教学过程：
（一）情境引课，板书课题
由导弹的发射情境，引出物理中矢量的分解，进而探究我们数学中的向量是不是也可以沿两个不同方向的向量进行分解呢？
（二）复习铺路，渐进新课
在共线向量定理的复习中，自然地、渐进地融入到平面向量基本定理的师生互动合作的探究与发现中去，感受着从特殊到一般、分类讨论和数形结合的数学思想碰撞的火花，体验着学习的快乐。
（三）归纳总结，形成定理
让学生在发现学习的过程中归纳总结出平面向量基本定理，并给出基底的定义。
（四）反思定理，解读要点
反思平面向量基本定理的实质即向量分解，思考基底的不共线、不惟一和非零性及实数对
的存在性和唯一性。
（五）跟踪练习，反馈测试
及时跟踪练习，反馈测试定理的理解程度。
（六）讲练结合，巩固理解
即讲即练定理的应用，讲练结合，进一步巩固理解平面向量基本定理。
（七）夹角概念，顺势得出
不共线向量的不同方向的位置关系怎么表示，夹角概念顺势得出。然后数形结合，讲清本质：夹角共起点。再结合例题巩固加深。
（八）课堂小结，画龙点睛
回顾本节的学习过程，小结学习要点及数学思想方法，老师的“教 ”与学生的“学”浑然一体，一气呵成。
（九）作业布置，回味思考。
布置课后作业，检验教学效果。回味思考，更加理解定理的实质。
七、板书设计：
1.平面向量基本定理：如果
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数
，使
.
2.基底：
(1) 不共线向量
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底：不共线，不唯一，非零
(3) 基底给定，分解形式唯一，实数对
存在且唯一；
(4) 基底不同，分解形式不唯一，实数对
可同可异。
例1 例2
3.夹角
：
（1）两向量共起点；
（2）夹角范围：
例3
4.小结
5.作业
平面向量教案8
【教学目标】
1．了解平面向量基本定理；
2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
【导入新课】
复习引入：
1．实数与向量的积
实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ.（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时，λ与方向相同；λ<0时，λ与方向相反；λ=0时，λ=.
2．运算定律
结合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ.
3.向量共线定理
向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
新授课阶段
一、平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.
探究：
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量.
二、平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
…………○1
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………○2
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.
特别地xxx，xx，xx，xx.
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
三、平面向量的坐标运算
（1）若，，则，.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为、，则，即，同理可得.
（2）若，，则.
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
=-=( x2，y2) -(x1，y1)= (x2- x1，y2- y1).
（3）若和实数，则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为、，则，即.
例1已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐标.
例2已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.
例3已知平面上三点的坐标分别为A(-2，1)，B(-1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解：当平行四边形为ABCD时，由，得D1=(2，2).
当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(-6，0).
例4已知三个力(3，4)，(2，-5)，(x，y)的合力++=，求的坐标.
解：由题设++=，得：(3，4)+ (2，-5)+(x，y)=(0，0)，
即：∴∴(-5，1).
例5已知=(2,1),=(－3,4),求＋，－，3＋4的坐标.
解：＋＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)，
－＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，
3＋4＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).
点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解.
例6已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的.坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D的坐标.
解：设点D的坐标为（x,y）,
即3- x=1,4-y=2.
解得x=2,y=2.
所以顶点D的坐标为（2，2）.
另解：由平行四边形法则可得
例7经过点的直线分别交轴、轴于点，且，求点的坐标.
解：由题设知，三点共线，且，设，
①点在之间，则有xxx，∴.
解之得：xxx，点的坐标分别为xxx.
②点不在之间，则有，同理，可求得点的坐标分别为xx，
.
综上，点的坐标分别为或，.
例8.已知三点，若，试求实数的取值范围，使落在第四象限.
解：设点，由题设得xxx，
∴，要使落在第四象限，则xx，
解之得.
例8已知向量，问是否存在实数同时满足两个条件：？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
解：假设满足条件的实数存在，则有解之得：
∴满足条件的实数.
课堂小结
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
作业
见同步练习
拓展提升
1.设是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的是（）
A.，B. +，C.，2 D.，+
2.设是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（）
A. +和- B. 3-2和4-6
C. +2和2+ D. +和
3.已知不共线，=+，=4 +2，并且，共线，则下列各式正确的是（）
A. =1，B. =2，C. =3，D. =4
4.设=+5，=-2+8，=3-3，那么下列各组的点中三点一定共线的是（）
A. A，B，C B. A，C，D C. A，B，D D.Ｂ，Ｃ，Ｄ
５．下列说法中，正确的是（）
①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量.
Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②③Ｄ①②③
６．已知是同一平面内两个不共线的向量，那么下列两个结论中正确的是（）
①+（，为实数）可以表示该平面内所有向量；②若有实数，使+＝，则＝＝０.
Ａ．①Ｂ．②Ｃ．①②Ｄ．以上都不对
７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若＝，＝，则＝（）
Ａ．（－）Ｂ．－（－）
Ｃ．－（＋）Ｄ．（＋）
８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，＝，＝，则＝（）
Ａ．（－）Ｂ．－（－）
Ｃ．＋Ｄ．（＋）
９．如果３+４＝，２+３＝，其中，为已知向量，则＝，＝.
１０．已知是同一平面内两个不共线的向量，且＝２+ｋ，＝+３，＝２－，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为.
１１．当ｋ为何值时，向量＝４+２，＝ｋ＋共线，其中、是同一平面内两个不共线的向量.
１２．已知：、是不共线的向量，当ｋ为何值时，向量＝ｋ+与＝＋ｋ共线？
平面向量教案9
本章内容介绍
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习这个平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.
本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念.（让学生对整章有个初步的、全面的了解.）
第1课时
2.1平面向量的实际背景及基本概念
教学目标：
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、情景设置：
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否
追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、C B D
有长短的量.
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
二、新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）
1、数量与向量有何区别？
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
（三）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. a A(起点) B（终点）
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．
向线段的起点无关。
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的。起点无关）。
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
（四）理解和巩固：
例1书本86页例1.
例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
例3下列命题正确的是（）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形
的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的'非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，
而由零向量与任一向量都
共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB,DO,FE）
课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相
2．书本88页练习
三、小结：
1、描述向量的两个指标：模和方向.
2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.
四、课后作业：
书本88页习题2.1第3、5题
同.
第2课时
2.2.1向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.
学法：
数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、设置情景：
1、复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：AB?BC?AC
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：AB?BC?AC
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：AB?BC?AC AB
C
（4）船速为AB，水速为BC，则两速度和：AB?BC?AC
二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. A B C AB C
平面向量教案10
[教学目标]
一、知识与能力：
理解向量、零向量、单位向量、平行向量的概念：掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；理解相等向量与共线向量的含义.
二、过程与方法：
通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景；渗透数形结合的数学思想方法.
三、情感、态度与价值观：
培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．
[教学重点]
向量的概念，向量的几何表示．
[教学难点]
向量的概念．
[教学要求]
向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，几何背景是有向线段。了解这些物理背景和几何背景，对于学生理解向量和运用向量解决实际问题都是十分重要的。
[教学过程]
一、创设情境，新课引入
问题1：我们已经知道位移是既有大小，又有方向的量。请再举出一些这样的量．
学生思考讨论，举出物理学中既有大小，又有方向的量，例如力，包括重力G、浮力F、拉力F等。
在学生讨论的基础上，抽象概括出向量的概念：
数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量，称为数量（或标量）。
教师提问，学生回答，并再次强调向量的两要素。有学生总结判断方法。
判定下列各量中哪些是向量：（1）浮力；（2）密度；（3）质量；（4）路程；（5）面积；（6）电流强度.
二、师生互动，新课讲解：
向量的表示
1．几何表示：用有向线段表示向量，以为起点，为终点的向量记作向量，注意起点在前，终点在后。
2．字母表示：印刷体可用黑体小写字母表示向量，手写时写成带箭头的小写字母，如。
3．图示表示：
4．向量的模
向量的长度称为向量的模，如向量的模记作，向量的模记作。
零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作。
单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量。
思考：两个向量能否比较大小？两个向量的模能否比较大小？
5．平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量平行，通常记作。
规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有。
例1（课本P75例1）试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示地至两地的位移，并求出地至两地的实际距离（精确到1km）。
变式训练1：
（1）某人东行100米，后转南行米，则这时他位移的方向是__________.（东偏南）
（2）某人向正东方向走3千米，再向正北方向走4千米，此人走过的路程是________，其位移的.长度是___________.（7千米、5千米）
6．相等向量的概念
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
如图，有向线段表示的向量a与b相等，记作a=b.
任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定。
提出问题：怎样的向量是相等向量？教师演示，让学生归纳定义。
7．共线向量
如图，a,b,c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出a，b，c，可见任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。
例2：
（1）向量和向量，这两个向量相等吗？这两个向量的模相等吗？
（2）用有向线段表示两个相等的向量，如果它们的起点相同，那么它们的终点是否相同？
（3）如果，四边形一定是平行四边形吗？
变式训练2：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
例3：判断下列说法是否正确，并说明理由：
（1）方向相同或相反的非零向量叫平行向量；（V）
（2）长度相等且方向相同的向量叫相等向量；(V)
（3）向量的模是一个正实数；(x)
（4）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；(x)
（5）零向量只有大小没有方向。(v)
变式训练3：下列各种情况中向量终点各构成什么图形？
（1）把所有单位向量起点平移到同一点；
（2）把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一起点；
（3）把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点.
解：（1）单位圆；
（2）两个点（相距两个单位长度）；
（3）构成一条直线.
例4（课本P76例2）如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与相等的向量.
解：
变式训练4：下列命题正确的是（C）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
课堂练习2：课本P77练习NO：1、2、3
三、课堂小结，巩固反思
1．在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动；
2．相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量；
3．共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量。
四、课时必记：
1、向量2、零向量、单位向量概念：
3、平行向量：4、相等向量：
5、共线向量与平行向量关系：
五、分层作业：
A组：
1、（课本P77习题2.1 A组NO：1）（直接做在课本题目旁边）
2、（课本P77习题2.1 A组NO：2）（直接做在课本题目旁边）
3、（课本P77习题2.1 A组NO：3）（直接做在课本题目旁边）
4、（课本P77习题2.1 A组NO：4）（直接做在课本题目旁边）
5、（课本P77习题2.1 A组NO：5）（直接做在课本题目旁边）
6、（课本P77习题2.1 A组NO：6）（直接做在课本题目旁边）
B组：
1、（课本P77习题2.1 B组NO：2）
2．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；（）
②单位向量都相等；（）
③任一向量与它的相反向量不相等；ぃ）
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝；（）
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；ぃ）
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。（）.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的
④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.
3、下列关于零向量的说法中，错误的是（B）。
（A）零向量的长度为零（B）零向量是没有方向的
（C）零向量的方向是任意的（D）零向量与任一向量平行
4、命题中，不正确的是（D）。
（A）向量的长度与向量的长度相等。
（B）任一非零向量都可以平行移动。
（C）两个相等的向量，若它们的起点相同，则其终点也相同。
（D）长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量。
5、如图中DE//BC，则下列结论正确的是（A）。
（A）和共线（B）和共线
（C）和共线（D）和共线
6、有下列命题中，正确的是（D）。
（A）若，则（B）若，则
（C）若，则与就不是共线向量（D）若，则
C组：
1、一质点从平面内一点出发，向北前进米后，右转，再前进，再右转，按此方法继续前进，求前进多少次，该质点第一次回到点.
解：（由平面几何知识易知，质点所经过的路线是一个边长为的正18边形，所以前进18次后，该质点第一次回到点）
平面向量教案11
一．复习目标：
1．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条；
2．学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题。
二．主要知识：
1．平面向量坐标的概念；
2．用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行等等；
3．会利用向量坐标的定义求向量的坐标或点的坐标及动点的轨迹问题．
三．前预习：
1.若向量 ,则 （ ）
2．设 四点坐标依次是 ，则四边形 为 （ ）
正方形 矩形 菱形 平行四边形
3．下列各组向量，共线的是 （ ）
4.已知点 ,且有 ,则 。
5．已知点 和向量 = ,若 =3 ,则点B的坐标为 。
6.设 ,且有 ,则锐角 。
四．例题分析：
例1．已知向量 ， ，且 ，求实数 的值。
小结：
例2．已知 ，
（1）求 ；（2）当 为何实数时， 与 平行， 平行时它们是同向还是反向？
小结：
例3．已知点 ,试用向量方法求直线 和 （ 为坐标原点）交点 的坐标。
小结：
例4．已知点 及 ,试问：
（1）当 为何值时, 在 轴上? 在 轴上? 在第三象限?
（2）四边形 是否能成为平行四边形?若能,则求出 的值.若不能,说明理由。
小结：
五．后作业：
1． 且 ，则锐角 为 ( )
2．已知平面上直线 的方向向量 ，点 和 在 上的射影分别是 和 ，则 ，其中 （ ）
3．已知向量 且 ，则 = ( )
4．在三角形 中，已知 ，点 在中线 上，且 ，则点 的坐标是 ( )
5．平面内有三点 ，且 ∥ ，则 的值是 （ ）
6．三点 共线的充要条是 （ ）
7．如果 , 是平面 内所有向量的`一组基底，那么下列命题中正确的是 （ ）
若实数 使 ，则
空间任一向量 可以表示为 ，这里 是实数
对实数 ，向量 不一定在平面 内
对平面内任一向量 ，使 的实数 有无数对
8．已知向量 ， 与 方向相反，且 ，那么向量 的坐标是_ ____.
9．已知 ，则与 平行的单位向量的坐标为 。
10．已知 ，求 ，并以 为基底表示 。
11.向量 ,当 为何值时， 三点共线？
12．已知平行四边形 中，点 的坐标分别是 ，点 在椭圆 上移动，求 点的轨迹方程.
平面向量教案12
设计立意及思路
向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是新课程高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。而学生普遍感到不适应，因此，我们在解析几何复习时应适时融合平面向量的基础，渗透平面向量的基本方法。本专题就以下两方面对平面向量与圆锥曲线交汇综合的问题进行复习;1、以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。2、以向量作为工具考查圆锥曲线的标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线位置关系，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
高考考点回顾
近三年来平面向量与圆锥曲线交汇命题可以说经历了三个阶段：2002年天津卷21道只是数学符号上的混合;2003年江苏卷20道用平面向量的语言描述解析几何元素的关系，可谓是知识点层面上整合;2004年有6份卷(分别是全国卷理科(必修+选修I)21道;全国卷理科(选修Ⅱ)21道;辽宁19道;湖南文21道;江苏卷21道;天津卷22道)涉及平面向量与圆锥曲线交汇综合，可以说是应用层面上综合。就应用层面上又有两个层次。第一层次：考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标表示、数量积等基本概念、运算的掌握情况. 第二层次：考查学生对平面向量知识的简单运用，如平面向量共线定理、定比分点、加减运算几何意义(这三点已有所涉及)、数量积几何意义、射影定理(这两点挖掘不够，本专题着重讲述见例1变式)。考查学生把向量作为工具的运用能力.这一层次的问题有一定的'难度，而且是未来几年平面向量高考题的一个走向.
基础知识梳理
1.向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法;
2. 实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算;
3. 平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平衡移公式;
4. 椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用;
5.曲线方程(含指定圆锥曲线方程及轨迹方程);
6. 直线与圆锥曲线的位置关系问题(交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题)确定参数的取值范围;
7. 平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。
例题讲解
一、减少运算量，提高思维量 是未来几年高考的一个方向，高考中对求轨迹的方程倾向于利用适当的转化再用定义法，以利于减少运算量，提高思维量。而圆锥曲线的两种定义均可用向量的模及数量积几何意义、射影定理来表示，无疑为平面向量与圆锥曲线交汇命题开拓了广阔的空间。在以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，可以综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。
平面向量教案13
课时5 平面向量基本定理
【学习目标】
1．掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。
2．能应用平面向量基本定理解决一些几何问题。
【知识梳理】
若 ， 是不共线向量， 是平面内任一向量
在平面内取一点O，作 = ， = ， = ，使 =λ1 =λ2
= = + =λ1 +λ2
得平面向量基本定理：
注意：1? 、 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底
2? 这个定理也叫共面向量定理
3?λ1，λ2是被 ， ， 唯一确定的实数。
【例题选讲】
1．如图，ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于M， ， ，试用基底 、 表示 。
2．设 、 是平面内一组基底，如果 =3 -2 ， =4 + ， =8 -9 ，求证：A，B，D三点共线。
3．设 、 是平面内一组基底，如果 =2 +k ， =- -3 ， =2 - ，若A，B，D三点共线，求实数k的值。
4． 中， ，DE//BC，与边AC相交于点E，中线AM与DE交于点N，如图， ， ，试用 、 表示 。
【归纳反思】
1．平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合。
2．在解具体问题时适当地选取基底，使其它向量能够用基底来表示，选择了两个不共线地向量 ，平面内的任何一个向量都可以用 唯一表示，这样几何问题就可以转化为代数问题，转化为只含 的代数运算。
【课内练习】
1．下面三种说法，正确的是
（1）一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；
（2）一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；
（3）零向量不可为基底中的向量；
2．如果 、 是平面 内一组基底，，那么下列命题中正确的'是
（1）若实数m,n，使m +n = ,则m=n=0;
（2）空间任一向量 可以表示为 = m +n ，这里m,n是实数；
（3）对实数m,n，向量m +n 不一定在平面 ；
（4）对平面 内的任一向量 ，使 = m +n 的实数m,n有无数组。
3．若G是 的重心，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则 =
4．如图，在 中，AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，BN与CM交于点P，设 ，试用 ， 表示 。
5．设 ， ， ，求证：A、B、D三点共线。
【巩固提高】
1．设 是平面内所有向量的一组基底，则下面四组中不能作为基底的是
A + 和 - B 3 -2 和-6 +4
C +2 和 +2 D 和 +
2．若 ， ， ，则 =
A + B + C + D +
3．平面直角坐标系中，O为原点，A（3，1），B（-1，3），点C满足 ，其中 ，且 =1，则点C的轨迹方程为
4．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，则P的轨迹一定通过 的 心
5．若点D在 的边BC上，且 = ，则3m+n的值为
6．设 = +5 ， = -2 +8 ， =3（ - ），求证：A、B、D三点共线。
7．在图中，对于平行四边形ABCD，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN= BD，求证：M，N，C三点共线。
8．已知 =5 +2 ， =6 +y ， ， ， 是一组基底，求y的值。
9．如图，在 中，D、E分别是线段AC的两个四等份点，点F是线段BC的中点，设 ， ，试用 ， 为基底表示向量 。
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